了解如何通过平均、模数转换器（ADC）单调性以及ADC非线性对系统信噪比（SNR）的影响来消除缺失代码。
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本系列的前一篇文章介绍了ADC中的微分非线性（DNL）和积分非线性（INL）误差。在这篇文章中，我们将讨论通过平均来消除缺失码，了解ADC的单调性，并研究ADC非线性对系统信噪比的影响。
通过信号平均消除ADC DNL缺失码
信号平均是一种简单但强大的技术，可用于降低某些测量应用中的噪声功率。有趣的是，平均还可以消除ADC的“缺失代码”。如图1所示。
显示ADC缺失代码的示例图。
图1。显示ADC缺失代码的示例图。图1显示了一个假设的非线性ADC的传递函数，该ADC缺少代码5（101）。考虑到这一点，我们可能会想，如果我们应用5.5 LSB（最低有效位）的DC输入，会产生什么输出代码。
在回答这个问题之前，应该指出的是，我们无法产生完全无噪声的输入。ADC输入端至少会出现少量噪声，这在我们的特定情况下实际上是有帮助的。假设直流输入加上噪声分量表现出上图下图所示的概率密度函数（PDF）。请注意，PDF的平均值等于施加的直流输入（5.5 LSB）。
假设噪声PDF具有高斯分布，标准偏差约为
L
S
B
3
LSB3
这确保了输入几乎总是在代码100和110的输入范围内。通过该输入，产生代码110和100的概率几乎相同。换句话说，如果我们多次捕获ADC输出，几乎一半的ADC代码将是110，另一半将是100。因此，这些测量值的平均值将为101。如您所见，平均可以作为消除ADC缺失代码的系统级解决方案。事实上，平均可以“平滑”ADC的DNL误差。但是，它无法纠正ADC的INL。
有人可能会问：如果高斯分布的标准偏差大于
L
S
B
3
LSB3
?
此外，如果噪声分量根本不是高斯分布的，并且具有任意的PDF，该怎么办？
在这些更一般的情况下，通过平均产生的输出码取决于缺失码的相邻码的DNL以及实际噪声PDF。然而，在现实世界的设计中，我们应该能够通过平均来删除缺失的代码。
信号平均：一种特殊的抖动
在上述示例中，系统的固有噪声使得平均过程能够提高系统的分辨率。为了更好地理解这一点，考虑一个完全无噪声的直流输入。在这种情况下，无论我们重复测量多少次，系统都会产生相同的代码。如果输出相同，平均值对我们没有任何帮助。在某些情况下，一定程度的噪声实际上可能会有所帮助，这似乎违反直觉。虽然上述示例依赖于系统的固有噪声，但也可以故意向ADC输入添加一些噪声以提高其线性度或分辨率。这种技术被称为抖动。常见的平均技术可以被认为是一种特殊类型的抖动。
传递函数单调性
之前（在引言中链接的文章中），我们讨论了在处理测量和控制应用程序时，DNL误差如何改变ADC的局部分辨率，如下图2所示。
测量和控制应用示例。
图2:测量和控制应用示例。传递函数的非单调性是另一种在闭环系统中可能存在问题的非理想性。以下示例（图3）描述了一个非单调的三位ADC。
非单调三位ADC的示例图。
图3。非单调三位ADC的示例图。单调ADC的输出对于输入值的增加是非递减的。图3中的情况并非如此。在这个例子中，当我们将输入从4 LSB增加到5 LSB时，输出代码从100减少到011。在闭环系统中，非单调性会使负反馈变为正反馈，并导致不稳定和振荡。因此，此类系统的设计者需要确保ADC是单调的。请记住，DNL不是在非单调步骤中定义的。
ADC DNL小于-1 LSB
到目前为止，我们已经有过ADC DNL小至-1 LSB的例子（例如，当ADC缺少代码时）。您可能会想知道DNL是否可能小于（或大于负）-1 LSB？Maxim Integrated教程中的下图说明了ADC的DNL为-1.5 LSB的示例（图4）。
示例图显示了DNL为-1.5 LSB的ADC。
图4。示例图显示了DNL为-1.5 LSB的ADC。图片由Maxim Integrated/ADI提供根据本教程，AIN*生成的输出代码可以是三个可能值之一；当输入电压被扫描时，代码10将丢失。
这似乎是一种罕见的错误。来自Haideh Khorramabadi和Boris Murmann等值得信赖的专家的ADC课程笔记提到，DNL小于-1是不可能的，并认为它是未定义的。此外，请注意，上一篇文章中讨论的常见DNL定义不会为上述示例产生-1.5 LSB的DNL。为方便起见，计算第k个代码DNL的方程式重复如下：
这里，W（k）和Wideal分别表示第k个码的宽度和理想步长。我们通常认为步长（W（k））为正，导致最小DNL为-1 LSB。对于上述示例，只有当我们假设步长为-0.5 LSB时，我们才能得到-1.5 LSB的DNL。
虽然小于-1 LSB的DNL被认为是未定义的，但ADC DNL的最大值可以超过+1 LSB，并且没有上限。此外，值得一提的是，与ADC不同，D/A转换器（DAC）的DNL可以小于-1 LSB。如图5所示。
显示DNL小于-1 LSB的DAC的示例图。
图5。显示DNL小于-1 LSB的DAC的示例图。图片由ADI公司提供DNL和INL如何影响ADC信噪比
到目前为止，我们已经研究了DNL和INL的影响，主要是在控制和测量应用方面。ADC传递函数的非线性也表现为系统噪声水平的增加。
由于ADC通过几个离散电平表示连续的模拟值范围，这固有地增加了一个称为量化误差的误差。通过从输入电压中减去输出码的模拟等效值，我们可以找到量化误差。图6显示了从零伏增加到三位ADC满标度值的斜坡输入（斜率为1）。
示例图显示了从零伏增加到满标度值的斜坡输入。
图6。示例图显示了从零伏增加到满标度值的斜坡输入。图6还显示了ADC输出代码的模拟等效值。如果我们减去这两条曲线，我们得到以下量化误差，如图7所示。
显示量化误差与时间的示例。
图7。显示量化误差与时间的示例。除了最后一步，理想ADC的量化误差始终在±0.5 LSB之间。对于大多数实际应用，理想ADC的量化误差可以建模为在±0.5 LSB范围内具有均匀幅度分布的噪声源。量化噪声的平均功率为
L
S
B
2
12
LSB212
.
然·而，如果步骤不一致怎么办？
例如，考虑将斜坡输入应用于图1所示的非线性传递曲线。如图8所示。
示例图显示了斜坡输入在非线性传递曲线中的应用。
图8。示例图显示了斜坡输入在非线性传递曲线中的应用。图8中的下曲线提供了这种非理想情况下的量化误差图。由于步长不均匀，不同码的量化误差极限也不相同。在这个特定的例子中，量化误差可以是负的，大约为-1.5 LSB。
对于非线性ADC，量化误差的转变点因代码的INL误差而偏离理想转变值。上述示例表明，DNL/INL可以改变ADC的量化噪声。
非线性引起的噪声项
推导非线性诱导噪声项有不同的方法。然而，最终的结果是，ADC非线性可以被建模为ADC输入端的加性噪声项。如果我们假设DNL误差在±DNL范围内具有均匀分布，则DNL误差的PDF将如图9所示。
示例显示了在±DNL范围内均匀分布的DNL误差的PDF。
图9。示例显示了在±DNL范围内均匀分布的DNL误差的PDF。由于概率密度函数的积分等于1，其值为
1
2
D
N
L
12DNL
对于–DNL
假设DNL误差和量化误差是独立的，这两种效应的总噪声功率由下式给出：
现在我们可以计算信噪比。在全摆幅正弦波输入的情况下，输入信号的幅度是满量程值的一半
，其产生的信号功率为：
其中N是ADC的位数。因此，由量化和DNL误差引起的信噪比可以通过以下方程式得出：
你可以在Haideh Khorramabadi的课程笔记中找到一种稍微不同的方法来获得这个方程。例如，如果DNL=0.5 LSB，则上述方程得出：
以dB表示，我们得到方程式1：
方程式1。理想ADC（具有均匀步长）的信噪比由方程2中的以下众所周知的方程给出：
方程式2。比较方程1和2，我们观察到±0.5 LSB的DNL将信噪比降低了3.01 dB。注意，上述推导基于DNL误差具有均匀分布的假设。实际情况可能并非如此；然而，这种分析使我们能够在存在非线性的情况下估计信噪比性能。此外，在DNL误差值较高的情况下，“DNL噪声”和量化噪声独立的假设不太有效。下面的方程3显示了计算ADC中非线性诱导噪声平均功率的另一个推导：
方程式3。类似于均匀量化噪声的相对直接的分析可用于推导上述表达式。如需更多信息，您还可以参考J.A.Fredenburg的论文“随机元素失配的二进制加权ADC和DAC中ENOB和产量的统计分析”和P.Carbone的论文“ADC直方图测试的噪声灵敏度”。
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